Le tamis à mailles fines est la méthode habituelle, mais comme vous le décrivez, le vôtre n'est pas assez fin.
Cherchez dans les magasins professionnels un “chinois”, c'est le genre de tamis dont vous avez besoin. Mais oui, cela prendra beaucoup de temps.
Dans les restaurants classiques, le stock sera nettoyé avant de passer le chinois. Pour ce faire, on fait flotter un carré de blanc d'œuf qui lie les protéines parasites. C'est au moins aussi lent que l'étamine, mais plus éprouvant pour les nerfs, car il faut le faire manuellement, et c'est assez délicat et peut facilement se tromper.
Je me souviens d'avoir lu un article sur une astuce moderne de défrichage qui utilisait de la gélatine et gelait le stock sans filet ni grille, mais je ne sais plus ce que c'était. Peut-être que quelqu'un d'autre l'a lu et peut fournir les détails.
Edit Je suis rentré chez moi et j'ai regardé la méthode de congélation ; elle est mentionnée dans le livre “Cooking for geeks”. Il contient la phrase
Comme l'eau du stock gèle, elle va pousser les impuretés dans la gélatine
Le livre contient aussi des images. Elles montrent que vous ne vous retrouvez pas avec un fin sédiment protéique qui obstrue votre tamis et la fente la plus fine du bouillon. La première photo montre le bouillon filtré au goutte-à-goutte par rapport au même bouillon filtré à 100 microns, la différence est importante. La deuxième photo montre qu'après la procédure, ce qui reste dans le tamis sont des morceaux de gélatine cohésifs avec les particules piégées à l'intérieur, et non un film d'écume. Il semble donc qu'il y ait une raison de congeler d'abord.
Vous pouvez également vous passer de la nécessité de nettoyer si vous ne portez jamais votre bouillon à ébullition, mais le gardez à feu doux. C'est assez facile avec les cuisinières programmables modernes, si elles disposent d'un mode dédié aux soupes ou aux bouillons, mais il faudra beaucoup de bébé assis sur la cuisinière.
Pour l'usage domestique, je ne prends pas la peine de nettoyer mon bouillon, j'utilise simplement un tamis à thé pour éliminer le pire des protéines. Lorsqu'on le fait mijoter sans le laisser bouillir, cela donne un assez bon bouillon sans tout le tracas.